Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx，g（x）=x-．
（1）若a∈R，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）在（1，2）上是增函數(shù)，g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，求f（x），g（x）的表達式；
（3）對于（2）中的f（x），g（x），求證：當x＞0時，方程f（x）=g（x）+2有唯-解．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求定義域，然后求函數(shù)的導數(shù)f'（x），利用極值的定義確定函數(shù)f（x）的極值．
（2）利用函數(shù)f（x）在（1，2）上是增函數(shù)，g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，確定參數(shù)a的數(shù)值，從而確定函數(shù)f（x），g（x）的表達式．
（3）由f（x）=g（x）+2得f（x）-g（x）-2=0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）-2，利用導數(shù)研究函數(shù)h（x）的極值和最值．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），函數(shù)的導數(shù)為，
①若a≤0，f'（x）＞0橫成立，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，無極值．
②若a＞0，則由，解得，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
由，解得，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
所以當時，函數(shù)f（x）取得極小值．
綜上，若a≤0，函數(shù)f（x）無極值．
若a＞0，函數(shù)f（x）取得極小值．
（2）若函數(shù)f（x）在（1，2）上是增函數(shù)，則恒成立，
即a≤2x²在（1，2）上恒成立，所以a≤2．
又，要使g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
則在（0，1）上恒成立，
即在（0，1）上恒成立，所以a≥2．
綜上a=2．
（3）由f（x）=g（x）+2得f（x）-g（x）-2=0，設(shè)h（x）=f（x）-g（x）-2=，
則，由且x＞0，得，
解得x＞1，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
由h'（x）＜0，解的0＜x＜1．此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
所以函數(shù)h（x）在x=1處取得極小值同時也是最小值h（0）=0，
當x＞0時，且x≠1時，h（x）＞0，所以h（x）=0在（0，+∞）上只有一個解，即當x＞0時，方程f（x）=g（x）+2有唯-解．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，綜合性較強，運算量較大．