Question

已知函數(shù)f（x）=（1+x）e^-2x，g（x）=ax++1+2xcosx，當x∈[0，1]時，
（I）求證：；
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）①當x∈[0，1）時，（1+x）e^-2x≥1-x?（1+x）e^-x≥（1-x）e^x，令h（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x，利用導(dǎo)數(shù)得到h（x）的單調(diào)性即可證明；
②當x∈[0，1）時，?e^x≥1+x，令u（x）=e^x-1-x，利用導(dǎo)數(shù)得出h（x）的單調(diào)性即可證明．
（II）利用（I）的結(jié)論得到f（x）≥1-x，于是G（x）=f（x）-g（x）≥=．再令H（x）=，通過多次求導(dǎo)得出其單調(diào)性即可求出a的取值范圍．
解答：（I）證明：①當x∈[0，1）時，（1+x）e^-2x≥1-x?（1+x）e^-x≥（1-x）e^x，
令h（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x，則h^′（x）=x（e^x-e^-x）．
當x∈[0，1）時，h^′（x）≥0，
∴h（x）在[0，1）上是增函數(shù)，
∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1-x．
②當x∈[0，1）時，?e^x≥1+x，令u（x）=e^x-1-x，則u^′（x）=e^x-1．
當x∈[0，1）時，u^′（x）≥0，
∴u（x）在[0，1）單調(diào)遞增，∴u（x）≥u（0）=0，
∴f（x）．
綜上可知：．
（II）解：設(shè)G（x）=f（x）-g（x）=
≥=．
令H（x）=，則H^′（x）=x-2sinx，
令K（x）=x-2sinx，則K^′（x）=1-2cosx．
當x∈[0，1）時，K^′（x）＜0，
可得H^′（x）是[0，1）上的減函數(shù)，∴H^′（x）≤H^′（0）=0，故H（x）在[0，1）單調(diào)遞減，
∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．
∴當a≤-3時，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．
下面證明當a＞-3時，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．
f（x）-g（x）≤==-x．
令v（x）==，則v^′（x）=．
當x∈[0，1）時，v^′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是減函數(shù)，
∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．
當a＞-3時，a+3＞0．
∴存在x∈（0，1），使得v（x）＞0，此時，f（x）＜g（x）．
即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．
綜上實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3]．
點評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、等價轉(zhuǎn)化、作差比較大小、放縮法等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力、計算能力和分析問題、解決問題的能力．