Question

已知tana，

1

tana

是關(guān)于x的方程x²-kx+k²-8=0的兩個實根，且3π＜a＜

7π

2

，求cosa+sina的值．

Answer 1

分析：先由韋達定理，三角函數(shù)值在各象限的符號確定出k=3，從而tanα+

1

tanα

=3，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡整理得出sinα•cosα=

1

3

．將cosa+sina 看作整體，進行求解計算．

解答：解：根據(jù)韋達定理得，tanα•

1

tanα

=k²-8=1，∴k=±3．
而3π＜a＜

7π

2

，∴tanα＞0，

1

tanα

＞0，sinα＜0，cosα＜0．
則tanα+

1

tanα

=k＞0，∴k=3，
根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，又得

sinα

cosα

+

cosα

sinα

=3，

1

sinα  cosα

=3，
∴sinα•cosα=

1

3

．
（sinα+cosα ）²=1+2sinα•cosα=

5

3

．
sinα+cosα=-

5 3

=-

15

3

．

點評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角函數(shù)值在各象限的符號．考查了變形、轉(zhuǎn)化、整體計算等能力．要掌握sinα+cosα，sinα-cosα，sinα•cosα 三者之間的相互轉(zhuǎn)化代換．