Question

如下圖,圓錐和一個球面相交,球心在圓錐的頂點,球半徑等于圓錐的高，若圓錐的側面被球與圓錐的交線所平分,求圓錐的高與母線間夾角α的大小.

Answer 1

思路解析：首先求出圓錐的高和母線之間的關系,在三角形中即可求出高與母線的夾角的一個三角函數(shù)值.

解：△VAB是軸截面,設VB交⊙V于C,作CD⊥VO于D,記VO=h.

由已知∠AVO=α=∠BVO,

∵VO＝h＝VBcosα,∴VB=.

又BO=htanα,CD＝VCsinα＝VOsinα＝hsinα.

根據(jù)題意，小錐側面積是大錐側面積的一半，可列出方程

π·CD·VC=π·BO·VB,

即hsinα·h=h·tanα·.

化簡,得cos²α=,cosα=±.

根據(jù)實際情況，cosα=,所以α=45°.