Question

4．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosa\\ y=\sqrt{3}sina\end{array}$（a為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P為曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由cos²α+sin²α=1，能求出曲線C₁的普通方程，由正弦加法定理和ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程．
（2）由點(diǎn)P到直線距離公式和三角函數(shù)性質(zhì)，能求出點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離的最小值．

解答 解：（1）∵在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosa\\ y=\sqrt{3}sina\end{array}$（a為參數(shù)），
∴曲線C₁的普通方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，∴ρsinθ+ρcosθ=4，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0．
（2）∵P為曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，∴P（cosα，$\sqrt{3}sinα$），
∴點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離d=$\frac{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|2sin（θ+\frac{π}{6}）-4|$≥$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離的最小值是$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程、直角坐標(biāo)方程的互化，考查點(diǎn)到直線的距離的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．