Question

【題目】如圖, 四棱錐中, 平面平面,為線段上一點(diǎn),為的中點(diǎn)．

（1）證明: 平面；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接,設(shè),可證四邊形為平行四邊形，得是的中點(diǎn),利用三角形中位線定理可得進(jìn)而由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）先證平面，分別以所在直線為軸, 軸, 為軸正方向,空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面和平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦值，進(jìn)而得結(jié)果．

試題解析：（1）證明: 連接,設(shè),連接,四邊形為平行四邊形, 且是的中點(diǎn), 又為的中點(diǎn), 平面平面平面．

（2）取的中點(diǎn),連接,由得平面平面,平面平面平面,在中,, 在等腰中,, 以為坐標(biāo)原點(diǎn), 分別以所在直線為軸, 軸, 為軸正方向, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由題知,

設(shè)是平面的法向量, 則,即．

設(shè)是平面的法向量, 則,即得．

,二面角的正弦值為．