Question

已知函數(shù)滿(mǎn)足，且 在上恒成立.

(1)求的值；

(2)若,解不等式；

(3)是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上有最小值？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）當(dāng)，，當(dāng)；（3）當(dāng)時(shí)，在上有最小值－5.

【解析】

試題分析：本題考查計(jì)算能力和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由二次函數(shù)知識(shí)求恒成立問(wèn)題；（2）求導(dǎo)，化為時(shí)，對(duì)b的值分類(lèi)討論，分別求解；（3）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，其導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)對(duì)軸稱(chēng)與區(qū)間的關(guān)系來(lái)分類(lèi)討論.

試題解析：（1）；

恒成立；

即恒成立；

顯然時(shí)，上式不能恒成立；

∴，由于對(duì)一切則有：

，即，解得：；

∴，.

（2）  

由得：；

即，即 ；

∴當(dāng)，

，

當(dāng).

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)使函數(shù)在區(qū)間 上有最小值－5.

圖象開(kāi)口向上且對(duì)稱(chēng)軸為

①當(dāng)，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上是遞增的；

解得與矛盾；

②當(dāng)，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上是遞減的，而在區(qū)間上是遞增的，

即

解得；

.

③當(dāng)，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上遞減的；

,即

解得,滿(mǎn)足

綜上知：當(dāng)時(shí)，在上有最小值－5.

考點(diǎn)：1、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；2、二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)；3、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.