Question

已知函數(shù)，f(x)=log2x-x+1，(x∈[2，+∞))，數(shù)列{an}滿足a1=2，

an+1

an

=2，(n∈N*)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（II）求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)

an+1

an

=2，a₁=2，利用等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（II）由（I）可得f（a_n）=log₂2ⁿ-2ⁿ+1=（n+1）-2ⁿ，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，可得結論．

解答：解：（I）∵

an+1

an

=2，a₁=2，∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（II）由（I）可得f（a_n）=log₂2ⁿ-2ⁿ+1=（n+1）-2ⁿ，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=[2+3+…+（n+1）]-（2+2²+…+2ⁿ]
=

n(n+3)

2

-2n+1+2．

點評：本題考查等比數(shù)列的定義，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．