Question

19.已知函數(shù)f（x）＝，x［1，+）.

（1）當a=時，求函數(shù)f（x）的最小值；

（2）若對任意x［1，+），f（x）>0恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

19.解：

（1）當a=時，f（x）=x++2，

∵f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，　　　　　　　　　　

∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為f（1）=.　　　　　　

 

（2）解法一：在區(qū)間 [1，+∞）上，

f（x）=>0恒成立x²+2x+a>0恒成立.　　　　

設y=x²+2x+a，x∈[1，+∞），

y=x²+2x+a=（x+1）²+a－1遞增，∴當x=1時，y_min=3+a.　　

 

于是當且僅當y_min＝3+a>0時，函數(shù)f（x）>0恒成立，故a>－3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

解法二：f（x）=x+，x∈[1，+∞），

當a≥0時，函數(shù)f（x）的值恒為正，　　　　　　　　　

當a<0時，函數(shù)f（x）遞增，

 

故當x=1時，f（x）_min=3+a.　　　　　　　　　　　　　

 

于是當且僅當f（x）_min=3+a>0時，

 

函數(shù)f（x）>0恒成立，故a>－3.