Question

給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=|cosx|+cosx的值域?yàn)閇0，2]；
②奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)；
③函數(shù)y=cos(2x+

π

3

)的圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

12

，0)對稱；
④已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（x+2）=f（x），且在[-3，-2]上為減函數(shù)，若α、β是銳角三角形的內(nèi)角，則有f（sinα）＞f（cosβ）．
其中正確的選項(xiàng)有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①去絕對值可得函數(shù)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的值域可得；
②奇函數(shù)的定義域內(nèi)有0時(shí)，則圖象一定過原點(diǎn)；
③根據(jù)余弦函數(shù)的對稱性，可判斷真假；
④由f（x+2）=f（x）得函數(shù)的周期為2，然后利用函數(shù)的周期和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性，即可判斷得到答案．

解答： 解：①y=|cosx|+cosx=

2cosx，cosx≥0  0，  cosx＜0

，
∴所求函數(shù)的值域?yàn)閇0，2]，故①正確；
②奇函數(shù)的定義域內(nèi)有0時(shí)，則圖象一定過原點(diǎn)，
但是定義域內(nèi)若沒有0，則函數(shù)就不過原點(diǎn)，例如函數(shù)y=

1

x

；故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)x=

π

12

時(shí)，y=f（x）=cos（2×

π

12

+

π

3

）=2cos

π

2

=0，
∴函數(shù)y=cos(2x+

π

3

)的圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

12

，0)對稱，即③正確．
④∵f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，周期T=2，
∵f（x）在[-3，-2]上為減函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上為減函數(shù)，
∵f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，
∴f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．
∵在銳角三角形中，則π-α-β＜

π

2

，
∴α+β＞

π

2

，
∴

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0，
∴sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ，
∵f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．
∴f（sinα）＞f（cosβ），故④正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多．屬于中檔題．