已知數(shù)列{a
n}滿足：a
1=2，a
n+1=2a
n+2
n+1（n∈N
*）
（1）記
bn=，證明：數(shù)列{b
n}為等差數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a
n}的通項公式a
n及前n項和為S
n．
分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義b
n+1-b
n=常數(shù)得b
n+1-b
n=1所以數(shù)列{b
n}為等差數(shù)列，其首項為1，公差為1．
（2）由（1）得b
n=1+（n-1）×1=n代入
=n(n∈N*)得a
n=n2
n再利用錯位相減法求數(shù)列a
n=n2
n前n項和可得S
n=（n-1）2
n+1+2．
解答：解：（1）由已知有：
=+1(n∈N*)，
即：b
n+1-b
n=1（n∈N
*）
∴數(shù)列{b
n}為等差數(shù)列，其首項為1，公差為1
（2）由（1）知：b
n=1+（n-1）×1=n（n∈N
*）
即：
=n(n∈N*)∴a
n=n2
n（n∈N
*）
∴S
n=1×2
1+2×2
2+3×2
3+…+n2
n
2S
n=1×2
2+2×2
3+…+（n-1）×2
n+n2
n+1兩式相減，得：
-Sn=21+22+23+…+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1∴a
n=n2
nS
n=（n-1）2
n+1+2
點評：考查等差數(shù)列的定義是一類基礎(chǔ)題，求和方法中的錯位相減主要用于求數(shù)列{an•bn}的前n項和的計算，{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}滿足：a
1=1且
an+1=， n∈N*．
（1）若數(shù)列{b
n}滿足：
bn=(n∈N*)，試證明數(shù)列b
n-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a
nb
n}的前n項和S
n；
（3）數(shù)列{a
n-b
n}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}滿足
a1+a2+a3+…+an=2n+1則{a
n}的通項公式
．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}滿足：a
1=
，且a
n=
（n≥2，n∈N
*）．
（1）求數(shù)列{a
n}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a
1•a
2•…a
n＜2•n！
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=|a
n-1|（n∈N
*）
（1）若
a1=，求a
n；
（2）若a
1=a∈（k，k+1），（k∈N
*），求{a
n}的前3k項的和S
3k（用k，a表示）
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
（2012•北京模擬）已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=a
n+2，且a
1=1，那么它的通項公式a
n等于
2n-1
2n-1
．
查看答案和解析>>
