Question

12．已知f（x）為奇函數(shù)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），x∈[0，1）}\\{1-|x-3|，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，方程f（x）=a（0＜a＜1）的所有實(shí)數(shù)根之和為（　�。�

• A． 1-2^a
• B． 2^a-1
• C． （$\frac{1}{2}$）^a-1
• D． 1-（$\frac{1}{2}$）^a

Answer 1

分析 利用奇函數(shù)得出f（x）$\left\{\begin{array}{l}{-lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-x），x∈（-1，0）}\\{-1+|x+3|，x∈（-∞，-1]}\end{array}\right.$，并畫出圖象，根據(jù)對稱性得出x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=x₃，再求出x₃=1-2^a即可．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），x∈[0，1）}\\{1-|x-3|，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，
且f（x）為奇函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-x），x∈（-1，0）}\\{-1+|x+3|，x∈（-∞，-1]}\end{array}\right.$，
當(dāng)a∈（0，1），方程f（x）=a有5個根，（如圖）
從小到到依次設(shè)為：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
顯然，x₁與x₂關(guān)于x=-3軸對稱，x₄，x₅關(guān)于x=3對稱，
即x₁+x₂=-6，x₄+x₅=6，
因此，所有實(shí)根之和為：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=x₃，
而x₃∈（-1，0），故令-$lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-x）$=a，
解得x₃=1-2^a，即x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1-2^a，
故答案為：A．

點(diǎn)評 本題主要函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及函數(shù)的奇偶性和圖象變換，并運(yùn)用圖象的對稱性處理數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．