Question

14．已知函數(shù)f（x）=3x²-2mx-1
（1）求證：一定存在x₀∈（-1，2），使得f（x₀）≥0
（2）若對一切m∈（-1，2）恒有f（x）＞0，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=3x²-2mx-1恒過定點(diǎn)（0，-1）且開口向上，要使得存在x₀∈（-1，2），使f（x₀）≥0，只要f（-1）和f（2）中有一個(gè)大于0即可，列出不等式，解出m的取值范圍為R得答案；
（2）利用更換主元的解題思想方法，把對一切m∈（-1，2）恒有f（x）＞0，化為關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=2x+3{x}^{2}-1≥0}\\{g（2）=-4x+3{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，求解不等式組得答案．

解答 （1）證明：若存在x₀∈（-1，2），使f（x₀）≥0，
根據(jù)二次函數(shù)f（x）=3x²-2mx-1恒過定點(diǎn)（0，-1）且開口向上，
∴f（-1）＞0或f（2）＞0，即2m+2＞0或-4m+11＞0，解得m∈R．  
∴對于任意實(shí)數(shù)m，一定存在x₀∈（-1，2），使得f（x₀）≥0；
（2）解：令g（m）=-2xm+3x²-1，
∵對一切m∈（-1，2）恒有f（x）＞0，即恒有g(shù)（m）＞0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=2x+3{x}^{2}-1≥0}\\{g（2）=-4x+3{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，解得：x≤-1或x≥$\frac{2+\sqrt{7}}{3}$．
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-∞，-1]∪[$\frac{2+\sqrt{7}}{3}，+∞$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的恒成立問題．對于恒成立問題，一般選用參變量分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值．本題同時(shí)考查了更換主元的解題思想方法，在應(yīng)用時(shí)要注意不等式成立的條件．屬于中檔題．