Question

等比數列{a_n}的各項均為正數，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆，
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求數列{}的前n項和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出等比數列的公比q，由a₃²=9a₂a₆，利用等比數列的通項公式化簡后得到關于q的方程，由已知等比數列的各項都為正數，得到滿足題意q的值，然后再根據等比數列的通項公式化簡2a₁+3a₂=1，把求出的q的值代入即可求出等比數列的首項，根據首項和求出的公比q寫出數列的通項公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出數列{a_n}的通項公式代入設bn=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，利用對數的運算性質及等差數列的前n項和的公式化簡后，即可得到b_n的通項公式，求出倒數即為的通項公式，然后根據數列的通項公式列舉出數列的各項，抵消后即可得到數列{}的前n項和．
解答：解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公比為q，由a₃²=9a₂a₆得a₃²=9a₄²，所以q²=．
由條件可知各項均為正數，故q=．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=．
故數列{a_n}的通項式為a_n=．
（Ⅱ）b_n=++…+=-（1+2+…+n）=-，
故=-=-2（-）
則++…+=-2[（1-）+（-）+…+（-）]=-，
所以數列{}的前n項和為-．
點評：此題考查學生靈活運用等比數列的通項公式化簡求值，掌握對數的運算性質及等差數列的前n項和的公式，會進行數列的求和運算，是一道中檔題．