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設橢圓 C1：（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線 C2：x2=4y的焦點重合，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，離心率e=，過橢圓右焦點F2的直線l與橢圓C交于M，N兩點，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若AB是橢圓C經(jīng)過原點O的弦，MN∥AB，求證：為定值。
解：（1）橢圓的頂點為，
，
∴橢圓的標準方程為。
（2）由題可知，直線l與橢圓必相交；
①當直線斜率不存在時，經(jīng)檢驗不合題意；
②設存在直線l為，
由，
，

，
所以，
故直線l的方程為。
（3）設，
由（2）可得：
|MN|=
，
由，
|AB|=，
∴為定值。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，其中右焦點F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設E(0，
1
2
)，是否存在斜率為k （k≠0）的直線l與橢圓C1交于A、B兩點，且|AE|=|BE|？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
3
，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C1的短半軸長為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直于l1，垂足為點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（3）過橢圓C1的左頂點A做直線m，與圓O相交于兩點R、S，若△ORS是鈍角三角形，求直線m的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：山西省模擬題 題型：解答題

設橢圓C1：（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1、F2，下頂點為A，線段OA的中點為B（O為坐標原點），如圖，若拋物線C2：y=x2-1與y軸的交點為B，且經(jīng)過F1，F(xiàn)2點。
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設M（0，-），N為拋物線C2上的一動點，過點N作拋物線C2的切線交橢圓C1于P、Q兩點，求△MPQ面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河北省邢臺一中高二（上）第二次月考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設橢圓 C1：（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線 C2： 的焦點重合，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，離心率 ，過橢圓右焦點 F2的直線 l 與橢圓 C 交于 M，N 兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線 l，使得 ，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由．

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