Question

21.已知a為實(shí)數(shù),f（x）=（x²－4）（x－a）.

（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)f′（x）;

（Ⅱ）若f′（－1）=0,求f（x）在［－2,2］上的最大值和最小值;

（Ⅲ）若f（x）在（－∞,－2］和［2,+∞）上都是遞增的,求a的取值范圍.

Answer 1

21.本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查分析推理和知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.

解：（Ⅰ）由原式得f（x）=x³－ax²－4x+4a,

∴f′（x）=3x²－2ax－4.

（Ⅱ）由f′（－1）=0得a=,

此時(shí)有f（x）=（x²－4）（x－）,f′（x）=3x²－x－4.

由f′（x）=0得x=或x=－1,

又f（）=－,f（－1）=,f（－2）=0,f（2）=0,

所以f（x）在［－2,2］上的最大值為,最小值為－.

（Ⅲ）解法一：f′（x）=3x²－2ax－4的圖象為開口向上且過點(diǎn)（0,－4）的拋物線,

由條件得f′（－2）≥0,f′2.≥0,

即

∴－2≤a≤2.

所以a的取值范圍為［－2,2］.

解法二：令f′（x）=0,即3x²－2ax－4=0,

由求根公式得x₁,₂=（x₁<x₂）,

所以f′（x）=3x²－2ax－4在（－∞,x₁］和［x₂,+∞）上非負(fù).

由題設(shè)可知：當(dāng)x≤－2或x≥2時(shí),f′（x）≥0,

從而x₁≥－2,x₂≤2,

即

解不等式組得－2≤a≤2,

∴a的取值范圍是［－2,2］.