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已知一曲線是與兩個定點A（x1,y1），B（x2,y2）距離之比為λ的點的軌跡（λ＞0）.求此曲線的方程，并判斷曲線形狀.

思路解析：關于動點的條件比較明顯，故采用直接法.

解：設M（x,y）是曲線上任意一點，則=λ.

∴=λ.

整理得（1-λ2）x2+(1-λ2)y2+2(λ2x2-x1)x+2(λ2y2-y1)y+x12+y12-λ2x22-λ2y22=0.

當λ=1時，有2(x2-x1)x+2(y2-y1)y+x12+y12-x22-y22=0.

此時是一直線,即AB的中垂線.

當0＜λ＜1或λ＞1時，有

x2+y2+x+y+=0.

∴此時是圓.

深化升華

    兩定點的距離的比λ為常數(shù)的點的軌跡，當λ=1時是這兩定點的中垂線；當0＜λ＜1或λ＞1時，其形狀是一個圓.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：天利38套《2008全國各省市高考模擬試題匯編　精華大字版》、數(shù)學理 題型：044

已知兩定點A(0，－1)，C(0，2)，動點M滿足∠MCA＝2∠MAC．

(Ⅰ)求動點M的軌跡Q的方程；

(Ⅱ)設曲線Q與y軸的交點為B，點E、F是曲線Q上兩個不同的動點，且·＝0，直線AE與BF交于點P(x0，y0)，求證：為定值；

(Ⅲ)在第(Ⅱ)問的條件下，求證：過點和點E的直線是曲線Q的一條切線．

(Ⅳ)在第(Ⅱ)問的條件下，試問是否存在點E使得·＝·(或||·|＝||·||)，若存在，求出此時點E的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩定點A(0，-1)，C(0，2)，動點M滿足∠MCA=2∠MAC.

(Ⅰ)求動點M的軌跡Q的方程；

(Ⅱ)設曲線Q與y軸的交點為B，點B、F是曲線Q上兩個不同的動點，且=0，直線AE與BF交于點P(x0，y0)，求證：為定值;

(Ⅲ)在第(Ⅱ)問的條件下，求證：過點p′(0，y0)和點E的直線是曲線Q的一條切線.

(Ⅳ)在第(Ⅱ)問的條件下，試問是否存在點E使得(或)，若存在，求出此時點E的坐標；若不存在，說明理由.

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