Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3n-4．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1-a_n+3}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1=2a_n+3n-4與a_n=2a_n-1+3n-7作差、計(jì)算可知a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）+3，變形可知a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n+1-a_n+3}是以3為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列；
（2）通過（1）可知a_n+1-a_n+3=3•2^n-1，累加可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=1-3n+3•2^n-1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2a_n+3n-4，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2a_n-1+3n-7，
兩式相減得：a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）+3，
即a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3），
又∵a₂-a₁+3=a₁+3-4+3=1+2=3，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n+3}是以3為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知a_n+1-a_n+3=3•2^n-1，
∴a_n+1-a_n=-3+3•2^n-1，
a_n-a_n-1=-3+3•2^n-2，
a_n-1-a_n-2=-3+3•2^n-3，
…
a₂-a₁=-3+3•2⁰，
累加得：a_n-a₁=-3（n-1）+3•2^n-2+3•2^n-3+…+3•2⁰
=3-3n+3•$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$
=3-3n+3•2^n-1-3
=-3n+3•2^n-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=a₁-3n+3•2^n-1=1-3n+3•2^n-1；
∴S_n=n-3（1+2+…+n）+3（1+2+2²+…+2^n-1）
=n-3•$\frac{n（n+1）}{2}$+3•$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=3•2ⁿ-$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．