Question

已知數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，a₁=1，前n項和S_n滿足Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

Sn

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）令bn=

1

anan+1

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2），因式分解后可化簡為，

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2），利用等差數(shù)列的定義可作出判斷；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得

Sn

，S_n，進而可求得a_n，b_n，利用裂相消法可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2），
∴(

Sn

+

Sn-1

)(

Sn

-

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

，
又∵a_n＞0，∴

Sn

+

Sn-1

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2），
∴數(shù)列{

Sn

}是等差數(shù)列，首項為

S1

=1，公差為1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

Sn

=1+n-1=n，∴Sn=n2，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1；
又a₁=1，∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1．
∴bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點評：本題考查數(shù)列遞推式、等差關(guān)系的確定及數(shù)列求和問題，考查學生的運算求解能力，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查重點內(nèi)容，要熟練掌握．