Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x-1|
（1）若f（x）+f（1-x）≥a恒成立，求a的取值范圍；
（2）若a+2b=8，求證：[f（a）]²+[f（b）]²≥5．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）+f（1-x），通過絕對值不等式求出最小值，即可求解a的范圍．
（2）化簡[f（a）]²+[f（b）]²，利用基本不等式推出（a+2b-3）²=，然后求出最小值，即可證明．

解答 解：（1）f（x）+f（1-x）=|x-1|+|-x|≥|x-1-x|=1…（3分）
∴f（x）_min=1∴a≤1…（5分）
（2）證明：[f（a）]²+[f（b）]²
=（a-1）²+（b-1）²[（a-1）²+（b-1）²]•（1²+2²）
≥[（a-1）•1+（b-1）•2]²
=（a+2b-3）²
=25…（9分）
∴（a-1）²+（b-1）²≥5，
∴[f（a）]²+[f（b）]²≥5…（10分）

點評 本題考查函數(shù)的最值的應用，絕對值不等式，考查分析問題解決問題的能力．