Question

設橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若＝8，求k的值．

Answer 1

解析：(1)設F(－c,0)，由＝，知a＝c.過點F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有，解得y＝±，于是＝，解得b＝，又a²－c²＝b²，從而a＝，c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1.

(2)設點C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)，由方程組消去y，整理得(2＋3k²)x²＋6k²x＋3k²－6＝0.

由根與系數的關系可得x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，

因為A(－，0)，B(，0)，所以

＝(x₁＋，y₁)·(－x₂，－y₂)＋(x₂＋，y₂)·(－x₁，－y₁)

＝6－2x₁x₂－2y₁y₂＝6－2x₁x₂－2k²(x₁＋1)(x₂＋1)

＝6－(2＋2k²)x₁x₂－2k²(x₁＋x₂)－2k²

＝6＋.

由已知得6＋＝8，解得k＝±.