Question

在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，底面△ABC是正三角形，M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點．若平面AMN⊥平面PBC，則側(cè)棱PB與平面ABC所成角的正切值是（　�。�

• A、

  5

  2

• B、

  3

  2

• C、

  2

  2

• D、

  6

  3

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：取BC中點D，連結(jié)PD，AD，PD交MN于E，連結(jié)AE，作PO⊥平面ABC，交AD于O，連結(jié)OB，∠PBO是側(cè)棱PB與平面ABC所成角，由已知得AD=PA=PD，由此能求出側(cè)棱PB與平面ABC所成角的正切值．

解答： 解：取BC中點D，連結(jié)PD，AD，PD交MN于E，連結(jié)AE，
作PO⊥平面ABC，交AD于O，連結(jié)OB，
∠PBO是側(cè)棱PB與平面ABC所成角，
∵在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，
底面△ABC是正三角形，
M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點，
∴E是PD中點，
∵平面AMN⊥平面PBC，∴AE⊥PD，
∴AD=AP，
設(shè)AD=2，則AD=PA=PD=

3

，
∴OB=OA=

2

3

AD=

2 3

3

，PO=

( 3 )2-( 2 3 3 )2

=

15

3

，
∴tan∠PBO=

PO

BO

=

15 3

2 3 3

=

5

2

，
∴側(cè)棱PB與平面ABC所成角的正切值是

5

2

．
故選：A．

點評：本題考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．