Question

矩形ABCD的兩條對角線相交于點M（2，0），AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，點T（-1，1）在AD邊所在直線上．
（I）求AD邊所在直線的方程；（II）求矩形ABCD外接圓的方程．

Answer 1

解：（I）∵AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直，
∴直線AD的斜率為-3．
又∵點T（-1，1）在直線AD上，
∴AD邊所在直線的方程為y-1=-3（x+1），
即3x+y+2=0．
（II）由，解得點A的坐標為（0，-2），
∵矩形ABCD兩條對角線的交點為M（2，0）．
∴M為矩形ABCD外接圓的圓心，
又|AM|²=（2-0）²+（0+2）²=8，
∴．
從而矩形ABCD外接圓的方程為 （x-2）²+y²=8．
分析：（I）由已知中AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直，我們可以求出直線AD的斜率，結合點T（-1，1）在直線AD上，可得到AD邊所在直線的點斜式方程，進而再化為一般式方程．
（II）根據矩形的性質可得矩形ABCD外接圓圓心即為兩條對角線交點M（2，0），根據（I）中直線AB，AD的直線方程求出A點坐標，進而根據AM長即為圓的半徑，得到矩形ABCD外接圓的方程．
點評：本題考查的知識點是直線的點斜式方程，兩條直線的交點坐標，圓的標準方程，其中（1）的關鍵是根據已知中AB邊所在直線的方程及AD與AB垂直，求出直線AD的斜率，（2）的關鍵是求出A點坐標，進而求出圓的半徑AM長．