Question

【題目】已知函數f（x）＝（x﹣2）ex﹣+x，其中∈R，e是自然對數的底數．

（1）當＞0時，討論函數f（x）在（1，+∞）上的單調性；

（2）若函數g（x）＝f（x）+2﹣，證明：使g（x）≥0在上恒成立的實數a能取到的最大整數值為1．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）討論的范圍，判斷f（x）的符號，得出f（x）的單調性；

（2）分別計算＝1和＝2時g（x）的最小值，判斷g（x）的最小值的符號得出結論．

（1）f（x）＝ex+（x﹣2）ex﹣x+＝（x﹣1）（ex﹣），令f（x）＝0解得x＝ln，

①若ln≤1，即0＜≤e，則f（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上單調遞增；

②若ln＞1，即＞e，則當1＜x＜ln時，f′（x）＜0，當x＞ln時，f（x）＞0，

∴f（x）在（1，ln）上單調遞減，在（ln，+∞）上單調遞增，

（2）g（x）＝ex+（x﹣2）ex﹣x+2，

①當＝1時，g（x）＝ex+（x﹣2）ex﹣x+2，＝xex﹣1，＝（x+1）ex，

∴當x＜﹣1時，＜0，當x＞﹣1時，＞0，

∴在（﹣∞，﹣1）上單調遞減，在（﹣1，+∞）上單調遞增，

∴的最小值為g（﹣1）＝﹣﹣1＜0，

又當x＜0時，＜0，g（0）＝﹣1，g（ln2）＝2ln2﹣1＞0，

∴存在唯一一個實數x0∈（0，ln2），使得g（x0）＝0，即x0＝1．

∴g（x）在（﹣∞，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，

∴g（x）的最小值為g（x0）＝+x0﹣﹣x0+2＝3﹣（+x0），

∵0＜x0＜ln2，∴1＜＜2，∴+x0＜2+ln2＜3，∴g（x0）＝3﹣（+x0）＞0，

∴當＝1時，g（x）≥0在R上恒成立．

②當＝2時，g（x）＝ex+（x﹣2）ex﹣2x+2，＝xex﹣2，g（x）＝（x+1）ex，

由①可知在（﹣∞，﹣1）上單調遞減，在（﹣1，+∞）上單調遞增，

的最小值為g（﹣1）＝﹣﹣2＜0，且當x＜0時，＜0，g（ln2）＝2ln2﹣2＜0，g（1）＝e﹣2＞0，

∴存在唯一一個實數x0∈（ln2，1），使得g（x0）＝0，即x0＝2．

∴g（x）在（﹣∞，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，

∴g（x）的最小值為g（x0）＝+x0﹣﹣2x0+2＝4﹣（+2x0），

∵ln2＜x0＜1，∴2＜＜e，∴+2x0＞2+2ln2＞4，∴g（x0）＝3﹣（+x0）＜0，

∴當＝2時，g（x）≥0在R上不恒成立．

綜上，實數能取到的最大整數值為1．