Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+8x，g（x）=6lnx+m。
(1) 求f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值h（t）；
(2)是否存在實(shí)數(shù)m使得y=f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

解析：（1）
當(dāng)t+1<4，即t<3時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，

當(dāng)，即時(shí)，h（t）=f（4）=16
當(dāng)t>4時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，

綜上，h（t）=
（2）函數(shù)y=f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
即函數(shù)的圖像與x的正半軸且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)
∴
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，是增函數(shù)；
當(dāng)x=1或x=3時(shí)，是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，是增函數(shù)；
當(dāng)x=1或x=3時(shí)，
∴
∵當(dāng)x充分接近0時(shí)，，當(dāng)x充分大時(shí)，
要使函數(shù)的圖像與x的正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn).必須且只需
∴
即當(dāng)7<m<15-ln3，
所以，存在實(shí)數(shù)m滿足題意。