Question

14．2016年元旦期間，某市信鴿協(xié)會組織“元旦杯”鴿王大賽，大賽分資格賽（初賽）和精英賽（初賽通過才可參加的復(fù)賽），某信鴿愛好者共有A、B、C三只信鴿參賽，三只信鴿的水平是：資格賽通過的概率依次為$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，精英賽獲獎的概率依次為$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{6}$，獲獎的信鴿每只獎900元，兩次比賽相互之間沒有影響，信鴿之間互不影響．
（1）求A，B，C，三只信鴿中恰有2只獲獎的概率；
（2）用X表示此信鴿愛好者獲得的獎金數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；
（3）此信鴿愛好者擁有高水平的信鴿120只，它們無風(fēng)時的飛行速度的成績?yōu)棣危ü��?小時），ξ～N（80，60），若P（60≤ξ≤80）=0.35，試估計速度在100（公里/小時）以上的鴿子數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)事件A表示“A只信鴿獲獎”，事件B表示“B只信鴿獲獎”，事件C表示“C只信鴿獲獎”，由題意P（A）=$\frac{2}{5}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{5}{9}$，由此能求出A，B，C，三只信鴿中恰有2只獲獎的概率．
（2）由已知得X=0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（3）由正態(tài)分布性質(zhì)得P（ξ≤80）=P（ξ≥80）=0.5，由已知得P（ξ≥100）=0.15，由此能估計速度在100（公里/小時）以上的鴿子數(shù)．

解答 解：（1）設(shè)事件A表示“A只信鴿獲獎”，事件B表示“B只信鴿獲獎”，事件C表示“C只信鴿獲獎”，
由題意P（A）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，P（B）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{2}{3}×\frac{5}{6}$=$\frac{5}{9}$，
∴A，B，C，三只信鴿中恰有2只獲獎的概率：
P=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}BC$）
=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{4}{9}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}$=$\frac{11}{30}$．
（2）由已知得X=0，1，2，3，
P（X=0）=P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{4}{9}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=2）=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}BC$）
=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{4}{9}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}$=$\frac{11}{30}$．
P（X=3）=P（ABC）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}$=$\frac{1}{9}$，
P（X=1）=1-$\frac{2}{15}-\frac{11}{30}-\frac{1}{9}$=$\frac{7}{18}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{11}{30}$	$\frac{1}{9}$

EX=$0×\frac{2}{15}+1×\frac{7}{18}+2×\frac{11}{30}+3×\frac{1}{9}$=$\frac{131}{90}$．
（3）∵ξ～N（80，60），∴P（ξ≤80）=P（ξ≥80）=0.5，
∵P（60≤ξ≤80）=0.35，∴P（80≤ξ≤100）=P（60≤ξ≤80）=0.35，
∴P（ξ≥100）=0.5-0.35=0.15，
∵此信鴿愛好者擁有高水平的信鴿120只，
∴估計速度在100（公里/小時）以上的鴿子數(shù)為：120×0.15=18（只）．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查正態(tài)分布的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，是中檔題．