Question

求證：,n≥2,n∈N.

Answer 1

思路分析：本題在由n=k到n=k+1時(shí)的推證過(guò)程中，不是第k項(xiàng)，應(yīng)是第2k項(xiàng)，數(shù)列各項(xiàng)分母是連續(xù)的自然數(shù)，最后一項(xiàng)是以3k收尾.根據(jù)此分母的特點(diǎn)，在3k后面還有3k+1、3k+2,最后才為3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了,,共三項(xiàng)，而不是只增加一項(xiàng).

證明：（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，右邊=+++＞，不等式成立.

（Ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N)時(shí)命題成立，即.

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

=

＞

＞.

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.

由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式對(duì)一切n≥2,n∈N^*均成立.

誤區(qū)警示

    錯(cuò)誤的思維定式認(rèn)為從n=k到n=k+1時(shí)，只增加一項(xiàng)，求和式中最后一項(xiàng)即為第幾項(xiàng)的通項(xiàng)，所以一定要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征.