Question

設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，且時，取極小值。

（1）求的值；

（2）當時，圖像上是否存在兩點，使得此兩點處的切線互相垂直？證明你的結(jié)論。

（3）若，求證：。

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱

 ∴對任意實數(shù)，有

∴，

即恒成立。

∴

∴，

∵時，取極小值

∴，

∴。

（2）當時，圖像上不存在這樣的兩點使結(jié)論成立。

假設(shè)圖像上存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直，

則由

知兩點處的切線斜率分別為（*）

∵

∴與（*）矛盾。

（3）∵

令得，

∵或時，，

時，

∴在[－1，1]上是減函數(shù)，且，

∴在[－1，1]上，，

∴時，。