Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{b_n}的前n項和為T_n，已知．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在一個最小正整數M，當n＞M時，S_n＞Tn恒成立？若存在求出這個M值，若不存在，說明理由．
（Ⅲ）設，求數列{c_n}的前n項和U_n及其取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用數列前n項和與通項的關系，即當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，再驗證，n=1即可．
（Ⅱ）由數列{a_n}的通項公式可推出{b_n}的通項，從而求出數列{b_n}的前n項和為T_n，最后比較S_n，T_n即可得解．
（Ⅲ）求出{c_n}通項，進而再利用裂項相消法求出的前n項和U_n．從而得解．
解答：解：（I）當n=1時，a₁=S₁=2
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=n+1，
綜上，數列{a_n}的通項公式是a_n=n+1（n∈N*）（4分）

（II），，
∴數列{b_n}是以12為首項，為公比的等比數列．
∴．（7分）
由此可知12≤T_n＜18．
而{S_n}是一個遞增數列，
且S₁=2，T₁=12，S₂=5，T₂=16，S₃=9，T₃=17，S₄=14，T₄=17．
故存在一個最小正整數M=4，當n＞M時，S_n＞T_n恒成立．（10分）
（Ⅲ），U_n=c₁+c₂+c₃++c_n-1+c_n=
∵，∴U_n的取值范圍是（14分）
點評：本題考查數列通項及前n想和求法，注意：
（I）利用數列前n項和與通項的關系求通項時，注意n=1的驗證．
（II）比較S_n，T_n時，要注意綜合利用數列單調性．
（Ⅲ）裂項相消求和方法的利用．以上考點在高考中大量出現，要重視．