Question

已知數(shù)列滿足，．

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）當(dāng)時(shí)，若求的值.

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，實(shí)質(zhì)就是證明：當(dāng)時(shí)，為一個(gè)常數(shù). 由當(dāng)時(shí)，，可將化為，整理得；（2）由（1）可先求出通項(xiàng)：，所以，再由當(dāng)時(shí)，求出，由于當(dāng)時(shí)，，所以；（3）當(dāng)時(shí),，這是一個(gè)分式數(shù)列，其求和通常利用裂項(xiàng)相消法，即，因此

試題分析：

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，整理得

故，且， 2分

所以為以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列. 4分

（2）由（1）可知，，所以

方法1:

當(dāng)時(shí)，=， 6分

當(dāng)時(shí)，

則 8分

方法2：由已知當(dāng)時(shí)，，將代入,可得

6分

經(jīng)驗(yàn)證, 時(shí),不符

綜上, 8分

（III）當(dāng)時(shí), ,

所以 10分

則

()12分

考點(diǎn)：等差數(shù)列定義，裂項(xiàng)相消求和