Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n（n∈N^*），則$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{2015}+1}$的整數(shù)部分是1．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，利用裂項法進(jìn)行求和，即可得到結(jié)論．

解答 解：由a_n+1=a_n²+a_n，
得a_n+1=a_n（a_n+1），
取倒數(shù)得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
則$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
即m=$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{2015}+1}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$=2-$\frac{1}{{a}_{2016}}$，
∵a_n+1=a_n²+a_n＞a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{{a}_{n}}$，
且a₃＞1，a₂₀₁₆＞1．
∴0＜$\frac{1}{{a}_{2016}}$＜1，
即-1＞-$\frac{1}{{a}_{2016}}$＞-2，
則2＞2-$\frac{1}{{a}_{2016}}$＞1，
即1＜m＜2．
則所求整數(shù)部分為1．
故答案為：1．

點評 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用．根據(jù)遞推公式求出$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．