Question

12．（1）證明：垂直同一平面的兩直線平行；
（2）已知l₁⊥平面α，l₂⊥平面α，且l₁，l₂與α的交點分別為O₁，O₂，A、B分別在l₁，l₂上，且AO₁=3，BO₂=1，O₁O₂=2，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）可用反證法證明：垂直于同一平面的兩條直線平行．設(shè)直線a、b都與平面α垂直，并假設(shè)a、b不平行，再作出輔助線和輔助平面，結(jié)合線面垂直的定義和平行線的性質(zhì)，可以證出經(jīng)過空間一點有兩條直線與已知直線垂直，得到與公理矛盾，所以原假設(shè)不成立，從而得到原命題是真命題；
（2）由（1）知，l₁∥l₂，過B作BC⊥AO₁，利用勾股定理可得結(jié)論．

解答 （1）證明：設(shè)直線a、b都與平面α垂直，可以用反證法證明a、b必定是平行直線
假設(shè)a、b不平行，過直線b與平面α的交點作直線d，使d∥a
∴直線d與直線b是相交直線，設(shè)它們確定平面β，且β∩α=c
∵b⊥α，c?α，∴b⊥c．同理可得a⊥c，
又∵d∥a，∴d⊥c
這樣經(jīng)過一點作出兩條直線b、d都與直線c垂直，這是不可能的
∴假設(shè)不成立，故原命題是真命題；
（2）解：由（1）知，l₁∥l₂，過B作BC⊥AO₁，則BC=O₁O₂=2，AC=2，
∴|AB|=2$\sqrt{2}$．

點評 考查了反證法的思路和線面垂直的定義等知識點，屬于基礎(chǔ)題．