Question

某工廠生產(chǎn)主要產(chǎn)品后,留下大量中心角為60°,半徑為a的扇形邊角料,現(xiàn)要廢物利用,從中剪裁下矩形毛坯,要求矩形面積盡可能大,請問如何裁剪?

Answer 1

解:方案一,如圖,矩形有兩個頂點(diǎn)在半徑OA上,

    設(shè)∠AOP=θ,則PM=a·sinθ.

∵扇形中心角為60°,∴∠PQO=120°.

    由正弦定理,得=,

∴PQ=·a·sin(60°-θ).

    故矩形MPQR的面積為

S₁=PM·PQ=a²·sinθ·sin(60°-θ)

=·a²［cos(2θ-60°)-cos60°］≤·a²·(1-)=a².

    當(dāng)cos(2θ-60°)=1.

    即θ=30°時,S₁取得最大值a².方案二:如圖,矩形有兩個頂點(diǎn)分別在扇形的兩條半徑OA、OB上.

    設(shè)∠AOM=θ,∠MRA=×60°=30°,∠MRO=150°,

    由正弦定理,得=.

∴RM=2a·sinθ.

    又=.

∴OR=RQ=2a·sin(30°-θ).

∴矩形MPQR的面積為

S₂=MR·RQ=4a²·sinθ·sin(30°-θ)

=2a²［cos(2θ-30°)-cos30°］

≤2a²·(1-)=(2-)a²,

    即在此情況下,∠AOM=15°時,可求出M點(diǎn),然后作出MPQR面積為最大.

    由于S₁-S₂=a²-(2-)a²=(7-12)＞0,

    所以第一種方案能使截出的矩形面積最大,即∠AOP=θ=30°，使P取在AB弧中點(diǎn),分別向扇形的一條半徑作垂線及平行線得到矩形MPQR,即為最大矩形.