Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，圓：過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析，定點(diǎn)

【解析】

（1）先判斷圓經(jīng)過橢圓的上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，令圓方程中的，得，即．再由求即可.

（2）設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，再運(yùn)算

將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)有與k無關(guān)即可.

（1）由圓方程中的時(shí)，的兩根不為相反數(shù)，

故可設(shè)圓經(jīng)過橢圓的上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，

令圓方程中的，得，即有．

又，解得．

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）證明：設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，

由（1）可得，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立可得，

設(shè)，則，

，

要使為定值，只需，解得．

∴在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，定點(diǎn)的坐標(biāo)為．