Question

18．已知數(shù)列{a_n}，a_n＞0，a₁=1，S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$（n≥2）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$的n項(xiàng)和為T_n．問T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，可得前n項(xiàng)和為T_n．再由不等式的解法即可得到n的最小正整數(shù)．

解答 解：（1）S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$（n≥2），即有
（$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$）=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，
即為$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，
則數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
則有$\sqrt{{S}_{n}}$=1+n-1=n，
即有S_n=n²，
則a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
T_n＞$\frac{1000}{2009}$即為n＞$\frac{1000}{9}$，
則最小正整數(shù)n為112．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列求和的方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．