Question

點P是圓x²+y²=16上的一個動點，過點P作D垂直于x軸，垂足為D，Q為線段PD的中點．
（Ⅰ）求點Q的軌跡方程．
（Ⅱ）已知點M（1，1）為上述所求方程的圖形內(nèi)一點，過點M作弦AB，若點M恰為弦AB的中點，求直線AB的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)Q（x，y），P（x₀，y₀），則D（x₀，0），
∵Q為線段PD的中點，∴，即，
∵P（x₀，y₀）在圓x²+y²=16上，
∴x₀²+y₀²=16，
∴x²+（2y）²=16，即為所求．…（5分）
（Ⅱ）依題意顯然AB的斜率存在，設(shè)直線AB的斜率為k，
則AB的方程可設(shè)為y-1=k（x-1）．
由，得x²+4（kx+1-k）²=16，
得（1+4k²）x+8k（1-k）x+4（1-k）²-16=0…（8分）
設(shè)，
而M（1，1）是AB中點，則，
∴，，解得k=-．
∴直線AB的方程為，即x+4y-5=0…（12分）
分析：（Ⅰ）設(shè)Q（x，y），P（x₀，y₀），則D（x₀，0），由Q為線段PD的中點，知，由P（x₀，y₀）在圓x²+y²=16上，知x₀²+y₀²=16，由此能求出點Q的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-1）．由，得（1+4k²）x+8k（1-k）x+4（1-k）²-16=0，設(shè)，而M（1，1）是AB中點，則，由此能求出直線方程．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．