Question

．在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿對(duì)角線AC把矩形折成二面角D-AC-B，并且D點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上．若在四面體D-ABC內(nèi)有一球，當(dāng)球的體積最大時(shí)，球的半徑是          .

 

Answer 1

【答案】

【解析】  當(dāng)球的體積最大時(shí)，球與三棱錐D -ABC 的各面相切，設(shè)球隊(duì)半徑為R ，則VD -ABC = VO -ABC +VO -DAC + VO -DBA + VO -DAB = R(S△ABC + S△DAC + S△DBC + S△DAB).由題設(shè)易知AD⊥平面DBC, 又∵BD平面DBC，∴AD⊥BD，∴△ABD為直角三角形，∵AB = 4，AD = 3，∴BD = ，∴S△ABC = AD·BD = ×3×= .在△DAB和△DBC中，∵AD = BC，AB = DC，DB = DB，∴△DAB≌△BCD，故S△DBC = ，VD -ABC = VA –DBC = ×3×= ，∴S△ABC = S△ADC = 6，∴R(6 + 6 + + )，于是( 4 + )R = ， 解得R =