Question

16．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．

（1）若PB中點(diǎn)為E．求證：AE∥平面PCD；
（2）若∠PAB=60°，求直線BD與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC中點(diǎn)F，并連接DF，F(xiàn)E，根據(jù)已知條件容易說(shuō)明四邊形ADFE為平行四邊形，從而有AE∥DF，根據(jù)線面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；
（2）設(shè)B到平面PCD的距離為h，從而直線BD與平面PCD所成角的正弦值便可表示為$\frac{h}{BD}$，BD根據(jù)已知條件容易求出，而求h可通過(guò)V_P-BCD=V_B-PCD求出：取AB中點(diǎn)O，連接PO，可以說(shuō)明PO⊥平面ABCD，而根據(jù)已知條件能夠求出S_△BCD，S_△PCD，從而求出h，從而求得答案．

解答 解：（1）證明：如圖，取PC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，EF；
∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE為平行四邊形；
∴AE∥DF，且AE?平面PCD，DF?平面PCD；
∴AE∥平面PCD；
（2）
∵∠PAB=60°，PA=AB；
∴△PAB為等邊三角形，取AB中點(diǎn)O，連接PO；
則PO⊥AB；
又側(cè)面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；
∴PO⊥平面ABCD；
根據(jù)已知條件可求得PO=$\sqrt{3}$，S_△BCD=4，PD=CD=$2\sqrt{2}$，PC=2$\sqrt{5}$，${S}_{△PCD}=\sqrt{15}$；
設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離為h；
∴${V_{P-BCD}}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，${V}_{B-PCD}=\frac{\sqrt{15}}{3}h$；
∵V_P-BCD=V_B-PCD；
∴$h=\frac{4}{\sqrt{5}}$；
∴直線BD與平面PCD所成角θ的正弦值$sinθ=\frac{h}{BD}=\frac{{\frac{4}{{\sqrt{5}}}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 考查中位線的性質(zhì)，平行四邊形的定義，線面平行的判定定理，以及直角三角形邊的關(guān)系，面面垂直的性質(zhì)定理，棱錐的體積公式，線面角的定義．