Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（Ⅱ）證明AE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）解：在四棱錐P-ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，平面ABCD， 故PA⊥AB， 又AB⊥AD，PA∩AD=A， 從而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA， 從而∠APB為PB和平面PAD所成的角， 在中，AB=PA，故∠APB=45°， 所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°． （Ⅱ）證明：在四棱錐P-ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，平面ABCD， 故CD⊥PA， 由條件CD⊥PC，PA∩AC=A， ∴CD⊥面PAC， 又面PAC， ∴AE⊥CD， 由，∠ABC=60°，可得AC=PA， ∵E是PC的中點(diǎn)， ∴AE⊥PC， ∴PC∩CD=C， 綜上得AE⊥平面PCD．
（Ⅲ）解：過點(diǎn)E作EM⊥PD，垂足為M，連結(jié)AM， 由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD， AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則AM⊥PD， 因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角， 由已知，可得∠CAD=30°，設(shè)AC=a，可得 ， ， ∴， 則， 在中，sin∠AME=， 所以二面角A-PD-C的大小是。