Question

正四棱錐（底面為正方形，頂點在底面上的射影是底面的中心）S-ABCD的底面邊長為2，高為2，E為邊BC的中點，動點P在表面上運動，并且總保持PE⊥AC，則動點P的軌跡的周長為（　　）

• A．

  2

• B．

  2

  +

  3

• C．3

  2

• D．

  2

  +

  6

Answer 1

分析：由動點P在正四棱錐的表面上運動，并且總保持PE⊥AC，故P點落在過E點且于AC垂直的平面上，根據(jù)線面平行的判定定理，找到滿足條件的P點軌跡，解三角形可得答案．

解答：解：連接AC，BD交于點O，連接SO，則SO⊥平面ABCD
由AC?平面ABCD，故SO⊥AC
取SC中點F和CD中點G，連接GE交AC于H
則H為OC的中點，故FH∥SO，
則FH⊥AC
又由GE∥BD，BD⊥AC得GE⊥AC
∵GE∩FH=H，GE，F(xiàn)H?平面FGE
∴AC⊥平面FGE
故當(dāng)P∈平面FGE時，總有PE⊥AC，
故動點P的軌跡即為△FGE的周長
又∵正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，高為2，
故SO=2，BD=2

2

則GE=

2

，SB=

6

則FE=FG=

6

2

故△FGE的周長為

2

+

6

故選D

點評：本題考查的知識點是線面垂直的判定及性質(zhì)，其中根據(jù)已知分析出P點落在過E點且于AC垂直的平面上，進而給出添加輔助線的方法是解答的關(guān)鍵．