Question

7．已知函數(shù)f（x）=log₂（1+x²），
求證：
（1）函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合已知中函數(shù)的解析式，可得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，結(jié)合二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可證得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂（1+x²）的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）=log₂[1+（-x）²]=log₂（1+x²）=f（x），
故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞），t=1+x²為增函數(shù)，
又由y=log₂t也為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．