Question

12．已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，${a_2}=-\frac{1}{2}$，且滿足S_n，S_n+2，S_n+1成等差數列，則a₃等于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由已知結合等差數列的定義可得，S_n+2-S_n=S_n+1-S_n+2，從而可得a_n+2與a_n+1的遞推關系，結合等比數列的通項可求a₃．

解答 解：∵S_n、S_n+2、S_n+1成等差數列，
∴S_n+2-S_n=S_n+1-S_n+2．
∴a_n+2+a_n+1=-a_n+2，
∴公比q=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=-$\frac{1}{2}$，
又a₂=-$\frac{1}{2}$，
∴a₃=a₂q=（-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查了利用數列的遞推關系構造等比數列求解數列的通項公式，考查等比數列的通項公式的運用，運算能力，屬于基礎題．