Question

17．若實(shí)數(shù)a、b、c∈R⁺，且ab+ac+bc+2$\sqrt{5}=6-{a^2}$，則2a+b+c的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{5}-1$
• B． $\sqrt{5}+1$
• C． $2\sqrt{5}+2$
• D． $2\sqrt{5}-2$

Answer 1

分析 因?yàn)椋?a+b+c）²=4a²+b²+c²+4ab+2bc+4ca，與已知等式比較發(fā)現(xiàn)，只要利用均值不等式b²+c²≥2bc即可求出結(jié)果．

解答 解：∵ab+ac+bc+2$\sqrt{5}=6-{a^2}$，∴a²+ab+ac+bc=6-2$\sqrt{5}$
（6-2$\sqrt{5}$）×4=（a²+ab+ac+bc）×4=4a²+4ab+4ac+4bc≤4a²+4ab+b²+c²+4ca+2bc=（2a+b+c）²，
所以2a+b+c≥2$\sqrt{5}$-2，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查柯西不等式，考查最小值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．解答的關(guān)鍵是利用平方關(guān)系4a²+4ab+b²+c²+4ca+2bc=（2a+b+c）²建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系．