Question

在△ABC中，若AB=2，AC²+BC²=8，則△ABC面積的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知的兩等式代入得到cosC=，利用同角三角函數間的基本關系得到cotC=，把表示出的cosC代入，整理后根據三角形的面積公式及同角三角函數間的基本關系變形，用tanC表示出三角形ABC的面積S，要求面積S的最大值，即要求tanC的最大值，而cosC在（0，90°）為減函數，tanC為增函數，故cosC取得最小值，tanC就取得最大值，根據余弦定理表示出的cosC得到，a=b時cosC取得最小值，由a與b的關系式求出a=b=2，即三角形ABC為邊長為2的等邊三角形時面積最大，根據邊長為2即可求出此時三角形ABC面積，即為面積的最大值．
解答：解：令AC=b，BC=a，AB=c，則c=2，a²+b²=8，
根據余弦定理得：cosC==，
∴cotC====，
即S=tanC，又0＜C＜90°，且tanC單調增，
而cosC=，當且僅當a=b時，cosC最小，
又cosC單調減，cosC最小時，tanC最大，又a²+b²=8，
則當a=b=2，即△ABC為等邊三角形時，△ABC面積最大，最大面積為×2²=．
故答案為：
點評：此題考查了余弦定理，同角三角函數間的基本關系，余弦、正切函數的單調性，基本不等式以及三角形的面積公式，利用了轉化的思想，熟練掌握公式及余弦定理是解本題的關鍵．