Question

15．已知函數(shù)$f（x）=|{{{log}_{\frac{1}{3}}}x}|$的定義域為[a，b]，值域為[0，t]
（1）用含有t的表達式表示b-a的最大值M（t），最小值N（t）；
（2）若設(shè)g（t）=M（t）-N（t），當(dāng)1≤t≤2時，求h（t）=g（t）[g（t）+k]的最小值h（k）．

Answer 1

分析 （1）由題意利用對數(shù)性質(zhì)、運算法則能求出M（t），N（t）．
（2）求得g（t）•[g（t）+k]=（3^t-1）（3^t-1+k），由此能求出h（t）=g（t）[g（t）+k]的最小值h（k）．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=|{{{log}_{\frac{1}{3}}}x}|$的定義域為[a，b]，值域為[0，t]，
∴由題意，b-a的最大值M（t）=3^t-3^-t，
最小值N（t）=1-3^-t．
（2）∵g（t）=M（t）-N（t），
∴g（t）=（3^t-3^-t）-（1-3^-t）=3^t-1，
g（t）•[g（t）+k]=（3^t-1）（3^t-1+k），
∵1≤t≤2，∴3≤3^t≤9，
∴4+2k≤（3^t-1）（3^t-1+k）≤64+8k，
∴h（t）=g（t）[g（t）+k]的最小值h（k）=4+2k．

點評 本題考查函數(shù)的最大值和最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意新定義的合理運用．