Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的一點(diǎn).

（1）證明：平面平面.

（2）若，二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由得平面PAE，進(jìn)而可得證；

（2）先證得平面，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面的法向量為和，設(shè)與平面所成角為，則，代入計(jì)算即可得解.

（1）證明：連接，因?yàn)?/span>，為線段的中點(diǎn)，

所以.

又，，所以為等邊三角形，.

因?yàn)?/span>，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）解：設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，

同理可證，所以平面.

如圖，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

易知為二面角的平面角，所以，從而.

由，得.

又由，，知，.

設(shè)平面的法向量為，

由，，得，不妨設(shè)，得.

又，，所以.

設(shè)與平面所成角為，則.

所以與平面所成角的正弦值為.