Question

已知圓A過點(diǎn)，且與圓B：關(guān)于直線對(duì)稱.

(1)求圓A的方程；

(2)若HE、HF是圓A的兩條切線，E、F是切點(diǎn)，求的最小值。

(3)過平面上一點(diǎn)向圓A和圓B各引一條切線,切點(diǎn)分別為C、D，設(shè)，求證：平面上存在一定點(diǎn)M使得Q到M的距離為定值，并求出該定值.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3)

【解析】

試題分析：(1)求圓的方程即找到圓心和半徑. 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可看出圓B的圓心, 圓A 與圓B 關(guān)于直線對(duì)稱可求出圓A的圓心.再由圓A 通過過點(diǎn)通過兩點(diǎn)距離公式求出半徑可求出圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2) 求的最小值最好用一個(gè)變量來表示, 表示長(zhǎng)度和夾角都與長(zhǎng)度有關(guān),所以設(shè),則由切割弦定理得,在直角三角形中,則由二倍角公式可得,由數(shù)量積公式得,利用均值定理可求出最小值.

(3)切線長(zhǎng)用到點(diǎn)距離和半徑表示出來，再根據(jù)得到關(guān)于一個(gè)方程可知軌跡是一個(gè)圓，所以存在一個(gè)定點(diǎn)到的距離為定值.

試題解析：

（1）設(shè)圓A的圓心A（a，b），由題意得：解得,

設(shè)圓A的方程為，將點(diǎn)代入得r＝2

∴圓A的方程為：      （4分）

（2）設(shè)，，

則

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為    （9分）

（3）由（1）得圓A的方程為：，圓B：，由題設(shè)得，即，

∴化簡(jiǎn)得：

∴存在定點(diǎn)M()使得Q到M的距離為定值.    （14分）

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系；圓關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的圓方程；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．