Question

設(shè)奇函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）-

3

sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期為π，則（　　）

• A、f（x）在（0，

  π

  2

  ）上單調(diào)遞減
• B、f（x）在（0，

  π

  2

  ）上單調(diào)遞增
• C、f（x）在（

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ）上單調(diào)遞減
• D、f（x）在（

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ）上單調(diào)遞增

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用兩角和公式對函數(shù)進(jìn)行化簡，利用最小正周期求得ω，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推斷出φ-

π

6

=kπ，進(jìn)而根據(jù)φ的范圍求得φ，得到函數(shù)的解析式，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增和單調(diào)減區(qū)間，對A，B，C，D選項驗證即可．

解答：解：f（x）=cos（ωx+φ）-

3

sin（ωx+φ）=2sin（

π

6

-ωx-φ）=-2sin（ωx+φ-

π

6

），
T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴φ-

π

6

=kπ，
∴φ=kπ+

π

6

，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=-2sin2x，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，單調(diào)遞減區(qū)間[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈Z
故選D．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用已知條件求函數(shù)的解析式．