Question

5．函數(shù)y=$\root{3}{{x}^{2}}$-x²+2的圖象在以點(diǎn)（1，y₁）為切點(diǎn)的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積等于（　�。�，函數(shù)y=x³圖象上過(guò)點(diǎn)（1，y₂）的切線(xiàn)與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積等于（　�。�

• A． $\frac{25}{6}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$或$\frac{1}{24}$
• D． $\frac{15}{4}$
• E． $\frac{7}{3}$
• F． $\frac{15}{4}$或$\frac{7}{3}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)y=$\root{3}{{x}^{2}}$-x²+2的導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線(xiàn)的方程，再令x=0，y=0，求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，可得三角形的面積；
求得函數(shù)y=x³的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，求得切線(xiàn)的斜率，寫(xiě)出切線(xiàn)的方程，代入點(diǎn)（1，1），求得切線(xiàn)的斜率，可得切線(xiàn)的方程，令x=0，y=0，求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，計(jì)算三角形的面積即可．

解答 解：函數(shù)y=$\root{3}{{x}^{2}}$-x²+2的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{2}{3}$•${x}^{-\frac{1}{3}}$-2x，
以點(diǎn)（1，y₁）為切點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為$\frac{2}{3}$-2=-$\frac{4}{3}$，
切點(diǎn)為（1，2），
可得以點(diǎn)（1，y₁）為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y-2=-$\frac{4}{3}$（x-1），
令x=0，可得y=$\frac{10}{3}$；令y=0，可得x=$\frac{5}{2}$．
則切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積等于$\frac{1}{2}$•$\frac{10}{3}$•$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{6}$，
故選：A；
函數(shù)y=x³的導(dǎo)數(shù)為y′=3x²，設(shè)切點(diǎn)為（m，m³），
即有切線(xiàn)的斜率為3m²，
切線(xiàn)的方程為y-m³=3m²（x-m），
由y₂=1，代入點(diǎn)（1，1），可得
2m³-3m²+1=0，即為（m-1）²（2m+1）=0，
解得m=1或-$\frac{1}{2}$，
由m=1，可得切線(xiàn)的方程為y-1=3（x-1），
由x=0，解得y=-2；y=0，可得x=$\frac{2}{3}$．
即有所求三角形的面積為$\frac{1}{2}$•2•$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$；
由m=-$\frac{1}{2}$，可得y-1=$\frac{3}{4}$（x-1），
由x=0，解得y=$\frac{1}{4}$；y=0，可得x=-$\frac{1}{3}$．
即有所求三角形的面積為$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{24}$．
即有切線(xiàn)與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為$\frac{2}{3}$或$\frac{1}{24}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查三角形的面積的求法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．