Question

14．四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一個半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由球的球心在四棱錐P-ABCD的高上，把空間問題平面化，作出過正四棱錐的高作組合體的軸截面，利用平面幾何知識即可求出高

解答 解：由題意，四棱錐P-ABCD是正四棱錐，球的球心O在四棱錐的高PH上；
過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖所示：
其中PE，PF是斜高，A為球面與側面的切點，
設PH=h，由幾何體可知，RT△PAO∽RT△PHF⇒$\frac{OA}{FH}=\frac{OP}{FP}$
∴$\frac{h-1}{\sqrt{{h}^{2}+3}}=\frac{1}{3}$，解得h=$\frac{9}{4}$，
故答案為：$\frac{9}{4}$

點評 題主要考查了球內切多面體、幾何體的結構特征，把空間問題平面化，是解題的關鍵．屬于基礎題．